图像压缩JPEG
JPEG图像压缩
一幅图像我们可以看是一个二维数组组成的，例如我们常见的1080p，它实际上是由1080 x 1920个像素点组成的。
- 1080：图像的高度
- 1920：图像的宽度
其中，每一个像素都是有固定的位数表示的，例如我们常见的彩色图片。每个颜色占八位(RGB)，一共三个基色，所以一个像素点占24位。
这里为了方便讨论，我们讨论灰色的图片，也就是每个像素占8位。
在JOPGE中，我们会使用到离散余弦变换(DCT)来对图像进行压缩。
不难发现，由于有两个求和，所以DCT的计算量是O($n^2$)，其中n是图像的像素个数。
如果要处理一个1080p的图像，那么计算量是($(1920 * 1080)^2$)
在JPEG中，我们使用了8x8的块来进行DCT，也就是说，我们将图像分成8x8的小块，然后对每个小块进行DCT。
举个例子，假设我们有一个1080p的图像，我们将其分成8x8的小块，那么我们每一列就有1920/8=240个小块 ，每一行就有1080/8=144个小块。
所以，DCT的计算量是O($(64)^2$) x 240 x 144 , 计算量少了很多
所以，对于JPEG里面的离散余弦变换。我们可以做一下简化：
- 首先，我们将图像分成8x8的小块，所以M = N = 8 。
$$\Rightarrow$$
- 然后，根据二阶DCT公式，我们可以得到：
$$
\begin{equation}
T(m,n) = 0.25 c(m)c(n) \sum_{x=0}^{7} \sum_{y=0}^{7} P(x,y) \cos\left[ \frac{(2x+1)m \pi}{16} \right] \cos\left[ \frac{(2y+1)n \pi}{16} \right]
\end{equation}
$$
- 同理，我们可以推出DCT-III公式：
$$
\begin{equation}
P(x,y) = \sum_{x=0}^{7} \sum_{y=0}^{7} P(x,y) 0.25 c(x)c(y) \cos\left[ \frac{(2m+1)x \pi}{16} \right] \cos\left[ \frac{(2n+1)y \pi}{16} \right]
\end{equation}
$$
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