离散余弦变换

离散余弦变换

离散余弦变换（DCT）是一种常用的信号处理技术，它是一种离散时间信号的变换，其目的是将时域信号转换为频域信号。DCT的基本思想是将时域信号分解为离散的频率成分，然后对每个频率成分进行分析，从而得到频域信号。

一阶离散余弦变换公式

$$
\begin{equation}
T(m) = c(m) \sum_{x=0}^{N-1} P(x) \cos\left[ \frac{(2x+1)m \pi}{N-1} \right]
\end{equation}
其中：
$$

$$ c(k) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & k=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, & \text{其他} \end{cases} $$

上面这个公式里 T(m) 是 P(x) 变换后的值

二阶离散余弦变换公式

对于二阶离散余弦变换，我们可以竖着做一次变换，然后横着做一次变换，得到：

$$
\begin{equation}
T(m,n) = c_N(m)c_M(n) \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} P(x,y) \cos\left[ \frac{(2x+1)m \pi}{N-1} \right] \cos\left[ \frac{(2y+1)n \pi}{N-1} \right]
\end{equation}
$$

其中:

$$ c_N(k) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & k=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, & \text{其他} \end{cases} $$

$$ c_M(k) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & k=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, & \text{其他} \end{cases} $$

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